一个度数为$d$的超曲面在$\mathbb{P}^n$中的线性轨道是它在$\binom{n+d}{d} – 1$维度量化这种超曲面的投影空间中，沿用$PGL(n+1)$的自然作用所得的轨道。这种作用限制到特定超曲面$X$上，延伸成一个从矩阵空间投影化到$\mathbb{P}^N$的有理映射。这个映射的图像类是它对应超曲面的预度多项式。这篇论文的目标是三方面的。首先，我们正式定义了$\mathbb{P}^n$中超曲面的预度多项式，Aluffi和Faber在平面曲线情况下曾引入过此概念，并在一般情况下证明了一些结果。在一般场景中一个关键结果是，有理映射的部分解析包含了足够计算超曲面的预度多项式的信息。其次，我们在特定情况 $n=3$下计算了一个代数封闭域中的$\mathbb{P}^n$的光滑二次曲线的预度多项式的主项和其他系数。类似于Aluffi和Faber的工作，计算这一指标的工具是产生一个(containing)足够信息以获得该不变量的有理映射的一个(部分)解析。第三，我们提供了这个有理映射的完整解析，它原则上可以用来计算更精细的不变量。
论文链接：http://arxiv.org/pdf/2303.09496v1
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